Todo sobre derivadas.

Que es una derivada?

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el limite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Cuales son sus aplicaciones?

Extremos absolutos

Extremos relativos a veces pueden ser extremos absolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos

Ubicando candidatos al extremos relativos

Si f es continua en su dominio y diferenciable a cada punto de su dominio con la posible excepción de unos puntos apartados, entonces sus extremos relativos ocurren entre los siguientes tipos de puntos:

1. Puntos estacionarios: Puntos x en el dominio con f'(x) = 0. Para ubicar puntos estacionarios, haga que f'(x) = 0 y despeje x.
2. Puntos singulares: Puntos x en el dominio donde f'(x) no está definida. Para ubicar puntos singulares, determine valores x donde f'(x) no está definida, pero f(x) sí está definida.
3. Puntos extremos: Los puntos extremos del dominio, si es que los hay. Recuerde que los intervalos cerrados contienen los puntos extremos, pero intervalos abiertos no los contienen.
4. 
   
La próxima figura demuestra instancias de todos tres tipos.

Análisis de las gráficas

Podemos utilizar a tecnología para trazar una gráfica, pero necesitamos a cálculo para comprender lo que estamos viendo. Las características más interesante de una gráfica son las siguientes:

Características de una gráfica
1. Las intersecciones en x y y Si y = f(x), se calcula la o las intersecciones en x igualando y = 0 y despejando a x; se calcula la intercessión en y igualando x = 0.
2. Extremos relativos Se usa las técnicas descritas más arriba para ubicar candidatos al extremos relativos.
3. Puntos de inflexión Se mete f"(x) = 0 y despeja a x para ubicar candidatos al puntos de inflexión.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función Si f(x) no está definida a x = a, se considera lim_x → a- f(x) y lim_x → a+ f(x) para ver como se acerca este punto la gráfica de f.
5. Comportamiento al infinito Se considera lim_{x → -∞} f(x) y lim_{x → +∞} f(x) si apropiado, para ver como comporta la gráfica de f cuando x se aleja hacia la izquierda y la derecha.

Ejemplos.

Extremos absolutos.

Sea otra vez

f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

Mirando a sus extremos relativos, observamos que:

• El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
• El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
• El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.

Ubicando candidatos a extremos absolutos.

1. Vamos a mirar de nuevo la gráfica de f(x) = x² - 2x,   con dominio [0, 4].

• El máximo relativo a (0,0) es un punto extremo.
• El mínimo absoluto a (1,-1) es un punto punto estacionario.
• El máximo absoluto a (4,8) es un punto extremo.

Análisis de graficas.

Aquí está la gráfica de

f(x)

=

x2 (x+1)(x- 2)

Para analisarla, seguimos el procedimiento descrito a la izquierda:

1. Las intersecciones en x y y Igualando y = 0 y despejando a x da x = 0. Ésta es la única intercesión de x. Igualandox = 0 y despejando a y da y = 0: la intercesión de y.
2. Extremos relativos Los únicos extremos son los puntos estacionarios ubicando igualando f'(x) = 0 y despejando a x, dando x = 0 y x = - 4. Los puntos correspondientes en la gráfica son el máximo relativo a (0, 0) y el mínimo relativo a (- 4, 8/9).
3. Puntos de inflexión Solucionar f"(x) = 0 analíticamente es difícil, entonces podremos solucionarla numéricamente (haciendo la gráfica de la derivada segunda y estimando donde cruza el eje x). Observamos que el punto de inflexión está a x ;≈ -6.1072.
4. Comportamiento cerca puntos donde no se está definida la función La función no está definida a x = - 1 y x = 2. Los limites cuando x se acerca a estos valores a la derecha y a la izquierda se podremos deducir de la gráfica:

x	lim →	-1-	f(x)	=	+∞
x	lim →	-1+	f(x)	=	-∞
x	lim →	2-	f(x)	=	-∞
x	lim →	2+	f(x)	=	+∞

5. Comportamiento al infinito Mirando la gráfica (o la función), observamos que

x	lim →	- ∞	f(x)	=	1
x	lim →	+∞	f(x)	=	1.